知识讲堂

设麦克风阵列有 $M$ 个传感器，频域观测向量为 $\mathbf{x}(f) \in \mathbb{C}^M$，其中每个元素对应一个麦克风在频率 $f$ 处的短时傅里叶变换系数。目标信号的导向矢量（steering vector）$\mathbf{d}(f) \in \mathbb{C}^M$ 编码了目标声源到各麦克风的传播延迟：在远场平面波假设下，$d_m(f) = e^{-j2\pi f \tau_m}$，其中 $\tau_m$ 是声源到第 $m$ 个麦克风的相对延迟。波束成形器的输出为线性组合 $y(f) = \mathbf{w}^H(f)\mathbf{x}(f)$，其中 $\mathbf{w}(f)$ 是待求的复数权重向量，上标 $H$ 表示共轭转置。MVDR 的优化问题为：$$\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^H \boldsymbol{\Phi}_{nn} \mathbf{w} \quad \text{s.t.} \quad \mathbf{w}^H \mathbf{d} = 1$$ 其中 $\boldsymbol{\Phi}_{nn} = \mathbb{E}[\mathbf{n}\mathbf{n}^H] \in \mathbb{C}^{M \times M}$ 是噪声协方差矩阵。目标函数 $\mathbf{w}^H \boldsymbol{\Phi}_{nn} \mathbf{w}$ 是输出噪声功率（二次型），约束 $\mathbf{w}^H \mathbf{d} = 1$ 保证目标方向信号以单位增益无失真通过。用拉格朗日乘子法：构造 $\mathcal{L} = \mathbf{w}^H \boldsymbol{\Phi}_{nn} \mathbf{w} - \lambda(\mathbf{w}^H \mathbf{d} - 1)$，对 $\mathbf{w}^*$ 求导令其为零得 $\boldsymbol{\Phi}_{nn}\mathbf{w} = \lambda \mathbf{d}$，即 $\mathbf{w} = \lambda \boldsymbol{\Phi}_{nn}^{-1}\mathbf{d}$。代入约束解出 $\lambda$，得到闭式解：$$\mathbf{w}_{\text{MVDR}} = \frac{\boldsymbol{\Phi}_{nn}^{-1}\mathbf{d}}{\mathbf{d}^H \boldsymbol{\Phi}_{nn}^{-1}\mathbf{d}}$$ 分母是标量归一化因子。直觉上，$\boldsymbol{\Phi}_{nn}^{-1}$ 对噪声空间做"白化"：噪声能量强的方向被压缩，弱的方向被保留。白噪声增益定义为 $\text{WNG}(f) = |\mathbf{w}^H\mathbf{d}|^2 / \|\mathbf{w}\|^2 = 1/\|\mathbf{w}\|^2$（利用约束），衡量波束成形器对传感器自噪声的放大程度。WNG 越大，系统对阵列校准误差越鲁棒。当 $\boldsymbol{\Phi}_{nn} = \sigma^2\mathbf{I}$（空间白噪声）时，MVDR 退化为延迟求和波束成形器 $\mathbf{w} = \mathbf{d}/M$。